一、似然函数

似然函数-最大似然估计方法的关键

在统计学中，似然函数是最大似然估计方法的关键。最大似然估计方法是一种常用的参数估计方法，它通过寻找最大化似然函数的参数值来对模型参数进行估计。

什么是似然函数？

似然函数是指在给定观测数据的情况下，关于模型参数的概率分布函数。在数学上，似然函数通常用L(θ|X)表示，其中θ是待估计的参数值，X是观测数据。

似然函数可以被看作是一个给定参数的条件下，观测数据发生的概率密度函数。它描述了观测数据在不同参数取值下的可能性大小。最大似然估计的核心思想就是找到使得观测数据出现的可能性最大的参数值。

最大似然估计方法

最大似然估计方法是一种常用的参数估计方法，它被广泛应用在统计学、机器学习等领域中。最大似然估计的核心思想是选择使似然函数取得最大值的参数值作为待估计的参数值。

在数学上，最大似然估计可以表示为：

θ^ = argmax L(θ|X)

其中θ^表示使似然函数取得最大值的参数值。

在实际应用中，通常通过对似然函数求导，并令导数等于零来求解最大化似然函数的参数值。当似然函数是连续且满足一定条件的函数时，最大似然估计的解通常是唯一的。

例子

为了更好地理解最大似然估计方法，让我们考虑一个简单的例子。

假设我们有一组观测数据X=(x1, x2, ..., xn)，假设这些观测数据是从一个服从正态分布的总体中抽取得到的。我们的目标是通过这些观测数据估计出正态分布的均值和方差。

我们知道，正态分布的概率密度函数可以表示为：

    
    f(x|μ, σ^2) = (1 / √(2πσ^2)) * e^(-(x-μ)^2 / 2σ^2)
    
  

其中μ是正态分布的均值，σ^2是正态分布的方差。

我们可以假设观测数据是独立同分布的，并构建似然函数：

    
    L(μ, σ^2|X) = Π[i=1 to n] f(xi|μ, σ^2)
    
  

为了方便计算，我们通常取似然函数的对数，即取对数似然函数：

    
    log L(μ, σ^2|X) = Σ[i=1 to n] log f(xi|μ, σ^2)
    
  

现在，我们的目标是找到使对数似然函数取得最大值的参数值(μ_hat, σ_hat^2)。为了实现这一目标，我们可以分别对μ和σ^2求偏导，并令偏导数等于零，得到关于μ和σ^2的方程组。

解方程组，我们就可以得到对数似然函数取得最大值时的参数估计值(μ_hat, σ_hat^2)。

结论

似然函数在最大似然估计方法中起着重要的作用。通过最大化似然函数，我们可以得到对模型参数的估计值，从而更好地理解数据背后的统计规律。

最大似然估计方法是一种常用的参数估计方法，它在许多领域都有广泛的应用。在实际应用中，我们通常根据具体问题选择合适的概率分布模型，并使用最大似然估计方法对模型参数进行估计。

通过对似然函数求导和解方程组，我们可以得到最大似然估计的参数值。最大似然估计可以使我们更好地理解数据，做出更准确的预测和推断。

二、似然函数和极大似然函数？

假设样本x1~xn独立同分布，具有概率密度函数p(xi;α) (1<=i<=n)，其中α为要估计的参数 则似然函数即为这n个样本的联合密度函数，由独立性有似然函数为： L(α)=Πp(xi;α) Π表示从下标i=1到i=n的连乘，由于样本值x1~xn已确定，而α是未知的有待估计的参数，所以我们将这个联合密度函数看作α的函数 极大似然估计方法是求α使得L(α)最大，因此常常将L(α)关于α求偏导再令其等于0，然后解出这个方程中的α 由于很多种随机变量分布的概率密度函数p(xi;α)都是指数族形式，这时我们转而利用对数似然函数求极大似然估计会比较方便，故定义对数似然函数为： l(α)=ln L(α)=Σln p(xi;α) 由于l(α)与L(α)的单调性相同，故它们取极大值时对应的α也相同。

三、probit似然函数含义？

probit模型是一种广义的线性模型。服从正态分布。最简单的probit模型就是指被解释变量Y是一个0,1变量，事件发生的概率是依赖于解释变量，即P（Y=1）=f(X)，也就是说,Y=1的概率是一个关于X的函数，其中f(.)服从标准正态分布

四、最大似然函数单调性

最大似然函数是一个关于模型参数的函数，它表示对于给定的一组观测数据，模型参数取何值能使得该组数据出现的概率最大。

在统计学中，最大似然估计是一种常用的参数估计方法。最大似然函数的单调性指的是当模型参数取不同的值时，最大似然函数的值是否单调递增。

如果最大似然函数具有单调性，那么我们可以通过不断迭代来找到最大值点，从而得到最优的模型参数估计。

因此，最大似然函数的单调性是非常重要的，它保证了最大似然估计方法的可行性和有效性。

五、极大似然函数怎么写？

要理解“极大”的含义，“极大”就是“所有样本同时发生的概率最大”，

所有样本同时发生的概率就是他们单独概率的乘积，就是L（p）=f1（p）f2（p）…fn（p）最大。

而为了方便计算，两边同时取对数InL（p）=Inf1（p）+Inf2（p）+…+Infn（p），

然后为了求最大值，一般对它进行求导，导数为0时取最大值，而有时导数恒大于0或恒小于0，就按单调性求解即可

六、似然估计函数为什么连乘？

是数理统计的么？

最大似然函数在最大似然估计中会出现……%D%A就是当你在做参数估计的时候，最大似然估计是一种比较好的方法，比点估计的有效性更好一些……%D%

A给你说说解题过程吧……%D%

A首先，求出似然函数L（其实就是关于未知参数的函数）……%D%

A 离散的就是把所有的概率p(x;未知参数)连乘%D%

A 连续的是把密度函数连乘%D%

A然后，取似然函数的对数，lnL，因为是连乘的关系，要转化成连加就要取对数%D%

A最后，lnL求导，对未知参数的，求出后令其为零，解出未知参数，即为其估计的结果

七、似然函数检验怎么弄？

Wald 检验是先对原方程（无约束模型）进行估计，得到参数的估计值，再代入约束条件检查约束条件是否成立。Wald检验的优点是只需估计无约束一个模型。因此，当约束模型的估计很困难时，此方法尤其适用。在本例中，我们使用Wald检验来判断样本农户生产函数是否满足规模报酬不变假设。

如果估计的生产函数是C—D函数形式：

如果估计的生产函数是Translog函数形式：

多了解下Wald检验，我们对Wald检验、LM检验和LR检验做一个比较，希望对大家有所启发。

F检验适用于检验模型的线性约束。如果模型是非线性的、或者约束是非线性的、或者扰动项分布是非正态的，在这些情况下，F检验不再适用，通常需要采用LR、Wald、LM其中之一来检验约束条件是否成立。这三个检验方法是渐进等价的，他们所用统计量的小样本分布是未知的，但都渐进服从自由度为约束个数的卡方分布。

LR 统计量则是分别计算在约束和无约束条件下的参数估计值，然后计算二者的对数似然函数是否足够接近；

Wald 统计量我们先对无约束模型得到参数的估计值，再代入约束条件检查约束条件是否成立；

LM 统计量则考察约束条件的拉格朗日乘子是否为零，因为假设约束条件成立，那么这个约束条件应该对我们的估计没有影响，那么拉格朗日乘子应该为0。这是三个检验的基本思想。至于为什么渐进等价，则要一些推导。基本上三者的大小差距为O（1/n)。

1、似然比检验的思想是：如果参数约束是有效的，那么加上这样的约束不应该引起似然函数最大值的大幅度降低。也就是说似然比检验的实质是在比较有约束条件下的似然函数最大值与无约束条件下似然函数最大值。似然比定义为有约束条件下的似然函数最大值与无约束条件下似然函数最大值之比。以似然比为基础可以构造一个服从卡方分布统计量。

2、wald检验的思想是：如果约束是有效的，那么在没有约束情况下估计出来的估计量应该渐进地满足约束条件，因为MLE是一致的。以无约束估计量为基础可以构造一个Wald统计量，这个统计量也服从卡方分布；

3、拉格朗日乘数检验的思想是：在约束条件下，可以用拉格朗日方法构造目标函数。如果约束有效，则最大化拉格朗日函数所得估计量应位于最大化无约束所得参数估计值附近。这里也是构造一个LM统计量，该统计量服从卡方分布。

对于似然比检验，既需要估计有约束的模型，也需要估计无约束的模型；对于Wald检验，只需要估计无约束模型；对于LM检验，只需要估计有约束的模型。一般情况下，由于估计有约束模型相对更复杂，所有Wald检验最为常用。对于小样本而言，似然比检验的渐进性最好，LM检验也较好，Wald检验有时会拒绝原假设，其小样本性质不尽如人意。

八、似然函数与条件概率函数例子？

L(\theta \vert x) = P(x ; \theta)

其中L(\theta \vert x)是似然函数，描述的对象是参数\theta 。对于任意的参数 \theta 来讲，都有一定的可能性取得样本 x, 似然函数就是用来衡量一个参数取得给定的联合样本 x 的可能性。整个函数的意义是给定的联合样本x下，参数\theta是真实值 (相对于其他的 \theta' )的可能性。

而 P(x ; \theta) 值得是在给定的参数 \theta 下，随机变量 X=x 的可能性，是一个关于随机变量 X 的函数。

二者的相等仅仅是数值意义上面的相等。

因此可以推知，最大似然估计的过程是找到一个参数 \theta 使得似然函数的值最大。直观的解释就是，找到一个参数估计 \hat{\theta} 使得采样得到给定的联合样本的可能性最大，那么我们就认为 \hat{\theta} 是采样的时候的真实参数 \theta 的最佳估计。

九、泊松分布的最大似然函数？

假设样本x1~xn独立同分布，具有概率密度函数p(xi;α) (1<=i<=n)，其中α为要估计的参数。

则似然函数即为这n个样本的联合密度函数，由独立性有似然函数为：L(α)=Πp(xi：α) Π表示从下标i=1到i=n的连乘，由于样本值x1~xn已确定，而α是未知的有待估计的参数，所以我们将这个联合密度函数看作α的函数。

十、连续函数求最大似然估计？

连续分布，连续参数空间

最常见的连续概率分布是正态分布，其概率密度函数如下：

f(x\mid \mu,\sigma^2) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}

现在有n个正态随机变量的采样点，要求的是一个这样的正态分布，这些采样点分布到这个正态分布可能性最大（也就是概率密度积最大，每个点更靠近中心点），其n个正态随机变量的采样的对应密度函数（假设其独立并服从同一分布）为：

f(x_1,\ldots,x_n \mid \mu,\sigma^2) = \left( \frac{1}{2\pi\sigma^2} \right)^\frac{n}{2} e^{-\frac{ \sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)^2}{2\sigma^2}}

或：

f(x_1,\ldots,x_n \mid \mu,\sigma^2) = \left( \frac{1}{2\pi\sigma^2} \right)^{n/2} \exp\left(-\frac{ \sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2+n(\bar{x}-\mu)^2}{2\sigma^2}\right),

这个分布有两个参数：μ,σ2.有人可能会担心两个参数与上边的讨论的例子不同，上边的例子都只是在一个参数上对可能性进行最大化。实际上，在两个参数上的求最大值的方法也差不多：只需要分别把可能性\mbox{lik}(\mu,\sigma) = f(x_1,,\ldots,x_n \mid \mu, \sigma^2)在两个参数上最大化即可。当然这比一个参数麻烦一些，但是一点也不复杂。使用上边例子同样的符号，我们有θ = (μ,σ2).

最大化一个似然函数同最大化它的自然对数是等价的。因为自然对数log是一个连续且在似然函数的值域内严格递增的上凸函数。[注意：可能性函数（似然函数）的自然对数跟信息熵以及Fisher信息联系紧密。]求对数通常能够一定程度上简化运算，比如在这个例子中可以看到：

\begin{matrix} 0 & = & \frac{\partial}{\partial \mu} \log \left( \left( \frac{1}{2\pi\sigma^2} \right)^\frac{n}{2} e^{-\frac{ \sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2+n(\bar{x}-\mu)^2}{2\sigma^2}} \right) \\ & = & \frac{\partial}{\partial \mu} \left( \log\left( \frac{1}{2\pi\sigma^2} \right)^\frac{n}{2} - \frac{ \sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2+n(\bar{x}-\mu)^2}{2\sigma^2} \right) \\ & = & 0 - \frac{-2n(\bar{x}-\mu)}{2\sigma^2} \\ \end{matrix}

这个方程的解是\widehat{\mu} = \bar{x} = \sum^{n}_{i=1}x_i/n .这的确是这个函数的最大值，因为它是μ里头惟一的一阶导数等于零的点并且二阶导数严格小于零。

同理，我们对σ求导，并使其为零。

\begin{matrix} 0 & = & \frac{\partial}{\partial \sigma} \log \left( \left( \frac{1}{2\pi\sigma^2} \right)^\frac{n}{2} e^{-\frac{ \sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2+n(\bar{x}-\mu)^2}{2\sigma^2}} \right) \\ & = & \frac{\partial}{\partial \sigma} \left( \frac{n}{2}\log\left( \frac{1}{2\pi\sigma^2} \right) - \frac{ \sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2+n(\bar{x}-\mu)^2}{2\sigma^2} \right) \\ & = & -\frac{n}{\sigma} + \frac{ \sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2+n(\bar{x}-\mu)^2}{\sigma^3} \\ \end{matrix}

这个方程的解是\widehat{\sigma}^2 = \sum_{i=1}^n(x_i-\widehat{\mu})^2/n.

因此，其关于θ = (μ,σ2)的最大似然估计为：

\widehat{\theta}=(\widehat{\mu},\widehat{\sigma}^2) = (\bar{x},\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2/n).