向量范数怎么求？

一、向量范数怎么求？

1、范数：║B║1 = max{ ∑|ai1|，∑|ai2|，……，∑|ain| }，其中∑|ai1|元素的绝对值先求出来 |ai1|=|a11|+|a21|+……+|an1|，其余式子也是这样）；

2、范数：║B║2 = A的最大值 =（max{ λi(A^H*A) }）^{1/2}（其中A^H为A的转置共轭矩阵）。

1、意义不同：第一种范数是指矩阵当中非零元素的个数，第二Euclid范数是指空间上两个向量矩阵的直线距离。

2、算法不同：第一种范数║A║1 = max{ ∑|ai1|，∑|ai2|，……，∑|ain| }，第二种范数：║A║2 = A= （max{ λi(A^H*A) }）^{1/2}。矩阵B的2范数就是B={ 1 -2-3 4 }那么B的2范数就是（15+221^1/2)^1/2 了

二、向量的范数？

范数，是具有“长度”概念的函数。在线性代数、泛函分析及相关的数学领域，范数是一个函数，是矢量空间内的所有矢量赋予非零的正长度或大小。半范数可以为非零的矢量赋予零长度。

定义范数的矢量空间是赋范矢量空间；同样，定义半范数的矢量空间就是赋半范矢量空间。

注：在二维的欧氏几何空间 R中定义欧氏范数，在该矢量空间中，元素被画成一个从原点出发的带有箭头的有向线段，每一个矢量的有向线段的长度即为该矢量的欧氏范数。

三、向量范数的定义？

范数，是具有“长度”概念的函数。在线性代数、泛函分析及相关的数学领域，范数是一个函数，是矢量空间内的所有矢量赋予非零的正长度或大小。半范数可以为非零的矢量赋予零长度。

定义范数的矢量空间是赋范矢量空间；同样，定义半范数的矢量空间就是赋半范矢量空间。

注：在二维的欧氏几何空间 R中定义欧氏范数，在该矢量空间中，元素被画成一个从原点出发的带有箭头的有向线段，每一个矢量的有向线段的长度即为该矢量的欧氏范数

四、向量的F范数？

、向量的范数

向量的1-范数： {\left\| X \right\|_1} = \sum\limits_{i = 1}^n {\left| {{x_i}} \right|} ; 各个元素的绝对值之和；

向量的2-范数：{\left\| X \right\|_2} = {\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}^2} } \right)^{\frac{1}{2}}} = \sqrt {\sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}^2} }；每个元素的平方和再开平方根；

向量的无穷范数：{\left\| X \right\|_\infty } = \mathop {\max }\limits_{1 \le i \le n} \left| {{x_i}} \right|

p-范数：{\left\| X \right\|_p} = {\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left| {{x_i}} \right|}^p}} } \right)^{\frac{1}{p}}}，其中正整数p≥1，并且有\mathop {\lim }\limits_{p \to \infty } {\left\| X \right\|_p} = \mathop {\max }\limits_{1 \le i \le n} \left| {{x_i}} \right|

例：向量X=[2, 3, -5, -7] ，求向量的1-范数，2-范数和无穷范数。

向量的1-范数：各个元素的绝对值之和；{\left\| X \right\|_1}=2+3+5+7=17；

Matlab代码：X=[2, 3, -5, -7]; XLfs1=norm(X,1);

向量的2-范数：每个元素的平方和再开平方根；{\left\| X \right\|_2} = {\left( {{\rm{2}} \times {\rm{2}} + {\rm{3}} \times {\rm{3}} + {\rm{5}} \times {\rm{5}} + {\rm{7}} \times {\rm{7}}} \right)^{\frac{1}{2}}} = 9.3274；

Matlab代码：X=[2, 3,

五、两向量相乘的范数？

向量范数

定义1. 设 ,满足

1. 正定性:║x║≥0,║x║=0 iff x=0

2. 齐次性:║cx║=│c│║x║,

3. 三角不等式:║x+y║≤║x║+║y║

则称Cn中定义了向量范数,║x║为向量x的范数.

可见向量范数是向量的一种具有特殊性质的实值函数.

常用向量范数有,令x=( x1,x2,…,xn)T

1-范数:║x║1=│x1│+│x2│+…+│xn│

2-范数:║x║2=(│x1│2+│x2│2+…+│xn│2)^1/2

∞-范数:║x║∞=max(│x1│,│x2│,…,│xn│)

易得 ║x║∞≤║x║2≤║x║1≤n1/2║x║2≤n║x║∞

定理1.Cn中任意两种向量范数║x║α,║x║β是等价的,即有m,M>0使

m║x║α≤║x║β≤M║x║

可根据范数的连续性来证明它.由定理1可得

定理2.设{x(k)}是Cn中向量序列,x是Cn中向量,则

║x(k)-x║→0(k→∞) iff xj(k)-xj→0,j=1,2,…,n(k→

∞)

其中xj(k)是x(k)的第j个分量,xj是x的第j个分量.此时称{x(k)}收敛于x,记作x(k)

→x(k→∞),或 .

三、 矩阵范数

定义2. 设 ,满足

1. 正定性:║X║≥0,║X║=0 iff X=0

2. 齐次性:║cX║=│c│║X║,

3. 三角不等式:║X+Y║≤║X║+║Y║

4. 相容性: ║XY║≤║X║║Y║

则称Cn×n中定义了矩阵范数,║X║为矩阵X的范数.

注意, 矩阵X可视为n2维向量,故有前三条性质.因此定理1,2中向量的等价性和向量

序列收敛的概念与性质等也适合于矩阵.第四条,是考虑到矩阵乘法关系而设.更有矩

阵向量乘使我们定义矩阵范数向量范数的相容性:

║Ax║≤║A║║x║

所谓由向量范数诱导出的矩阵范数与该向量范数就是相容的.

定理3. 设A是n×n矩阵,║?║是n维向量范数则

║A║=max{║Ax║:║x║=1}= max{║Ax║/║x║: x≠0}

是一种矩阵范数,称为由该向量范数诱导出的矩阵范数或算子范数,它们具有相容性

或者说是相容的.

单位矩阵的算子范数为1

可以证明任一种矩阵范数总有与之相容的向量范数.例如定义:

║x║=║X║,X=(xx…x)

常用的三种向量范数诱导出的矩阵范数是

1-范数:║A║1= max{║Ax║1:║x║1=1}=

2-范数:║A║2=max{║Ax║2:║x║2=1}= ,λ1是AHA的

最大特征值.

∞-范数:║A║∞=max{║Ax║∞:║x║∞=1}=

此外还有Frobenius范数: .它与向量2-范数相容.但非向量范数诱导出的矩阵范数.

四、 矩阵谱半径

定义3.设A是n×n矩阵,λi是其特征值,i=1,2,…,n.称

为A的谱半径.

谱半径是矩阵的函数,但非矩阵范数.对任一矩阵范数有如下关系:

ρ(A)≤║A║

因为任一特征对λ,x,Ax=λx,令X=(xx…x),可得AX=λX.两边取范数,由矩阵范数的

相容性和齐次性就导出结果.

定理3.矩阵序列I,A,A2,…Ak,…收敛于零的充分必要条件是ρ(A)

六、向量范数的计算公式？

1、范数：║B║1 = max{ ∑|ai1|，∑|ai2|，……，∑|ain| }，其中∑|ai1|元素的绝对值先求出来 |ai1|=|a11|+|a21|+……+|an1|，其余式子也是这样）；

2、范数：║B║2 = A的最大值 =（max{ λi(A^H*A) }）^{1/2}（其中A^H为A的转置共轭矩阵）。

1、意义不同：第一种范数是指矩阵当中非零元素的个数，第二Euclid范数是指空间上两个向量矩阵的直线距离。

2、算法不同：第一种范数║A║1 = max{ ∑|ai1|，∑|ai2|，……，∑|ain| }，第二种范数：║A║2 = A= （max{ λi(A^H*A) }）^{1/2}。矩阵B的2范数就是B={ 1 -2-3 4 }那么B的2范数就是（15+221^1/2)^1/2 了

七、矩阵的f范数是由哪个向量范数诱导的？

行范数行元素绝对值和最大的那个列范数列元素绝对值和最大的那个F范数这个忘记了，可以看一下数值分析课本二范数矩阵所有元素平方和开根号，还有函数和向量的范数要搞明白，自己看数值分析

八、向量的二范数计算公式？

向量范数

定义1.

设

,满足

1.

正定性:║x║≥0,║x║=0

iff

x=0

2.

齐次性:║cx║=│c│║x║,

3.

三角不等式:║x+y║≤║x║+║y║

则称Cn中定义了向量范数,║x║为向量x的范数.

可见向量范数是向量的一种具有特殊性质的实值函数.

常用向量范数有,令x=(

x1,x2,…,xn)T

1-范数:║x║1=│x1│+│x2│+…+│xn│

2-范数:║x║2=(│x1│2+│x2│2+…+│xn│2)^1/2

∞-范数:║x║∞=max(│x1│,│x2│,…,│xn│)

易得

║x║∞≤║x║2≤║x║1≤n1/2║x║2≤n║x║∞

定理1.Cn中任意两种向量范数║x║α,║x║β是等价的,即有m,M>0使

m║x║α≤║x║β≤M║x║

可根据范数的连续性来证明它.由定理1可得

定理2.设{x(k)}是Cn中向量序列,x是Cn中向量,则

║x(k)-x║→0(k→∞)

iff

xj(k)-xj→0,j=1,2,…,n(k→

∞)

其中xj(k)是x(k)的第j个分量,xj是x的第j个分量.此时称{x(k)}收敛于x,记作x(k)

→x(k→∞),或

.

三、

矩阵范数

定义2.

设

,满足

1.

正定性:║X║≥0,║X║=0

iff

X=0

2.

齐次性:║cX║=│c│║X║,

3.

三角不等式:║X+Y║≤║X║+║Y║

4.

相容性:

║XY║≤║X║║Y║

则称Cn×n中定义了矩阵范数,║X║为矩阵X的范数.

注意,

矩阵X可视为n2维向量,故有前三条性质.因此定理1,2中向量的等价性和向量

序列收敛的概念与性质等也适合于矩阵.第四条,是考虑到矩阵乘法关系而设.更有矩

阵向量乘使我们定义矩阵范数向量范数的相容性:

║Ax║≤║A║║x║

所谓由向量范数诱导出的矩阵范数与该向量范数就是相容的.

定理3.

设A是n×n矩阵,║?║是n维向量范数则

║A║=max{║Ax║:║x║=1}=

max{║Ax║/║x║:

x≠0}

是一种矩阵范数,称为由该向量范数诱导出的矩阵范数或算子范数,它们具有相容性

或者说是相容的.

单位矩阵的算子范数为1

可以证明任一种矩阵范数总有与之相容的向量范数.例如定义:

║x║=║X║,X=(xx…x)

常用的三种向量范数诱导出的矩阵范数是

1-范数:║A║1=

max{║Ax║1:║x║1=1}=

2-范数:║A║2=max{║Ax║2:║x║2=1}=

,λ1是AHA的

最大特征值.

∞-范数:║A║∞=max{║Ax║∞:║x║∞=1}=

此外还有Frobenius范数:

.它与向量2-范数相容.但非向量范数诱导出的矩阵范数.

四、

矩阵谱半径

定义3.设A是n×n矩阵,λi是其特征值,i=1,2,…,n.称

为A的谱半径.

谱半径是矩阵的函数,但非矩阵范数.对任一矩阵范数有如下关系:

ρ(A)≤║A║

因为任一特征对λ,x,Ax=λx,令X=(xx…x),可得AX=λX.两边取范数,由矩阵范数的

相容性和齐次性就导出结果.

定理3.矩阵序列I,A,A2,…Ak,…收敛于零的充分必要条件是ρ(A)

九、行范数怎么求？

　　A是矩阵,则：

　　1-范数是：max(sum(abs(A)),就是对A的每列的绝对值求和

　　再求其中的最大值,也叫列范数

　　2-范数是：求A'*A 的特征值,找出其中的最大特征值,求其平方根

　　相当于max(sqrt(eig(A'*A))),也叫谱范数

　　∞-范数是：max(sum(abs(A')),就是对A的每行的绝对值求和

　　再求其中的最大值,也叫行范数

　　当然还有一种F-范数,就是求矩阵每个元素的平方和,后开平方

十、a的范数怎么求？

范数：║A║1 = max{ ∑|ai1|，∑|ai2|，……，∑|ain| }（列和范数，A每一列元素绝对值之和的最大值），其中∑|ai1|第一列元素绝对值的和∑|ai1|=|a11|+|a21|+...+|an1|，其余方法相同）；

2-范数：║A║2 = A的最大奇异值 =（max{ λi(A^H*A) }）^{1/2}（其中A^H为A的转置共轭矩阵）