函数的l2范数怎么算？

一、函数的l2范数怎么算？

L2 norm 欧几里德距离

L1 norm 绝对值相加，又称曼哈顿距离

L0 norm 向量中非零元素的个数。

L2 norm 欧几里德距离

L1 norm 绝对值相加，又称曼哈顿距离

L0 norm 向量中非零元素的个数

L2 norm 欧几里德距离

L1 norm 绝对值相加，又称曼哈顿距离

L0 norm 向量中非零元素的个数

二、怎么选择使用l0，l1，l2范数？

浅谈L0,L1,L2范数及其应用

在线性代数，函数分析等数学分支中，范数（Norm）是一个函数，其赋予某个向量空间（或矩阵）中的每个向量以长度或大小。对于零向量，另其长度为零。直观的说，向量或矩阵的范数越大，则我们可以说这个向量或矩阵也就越大。有时范数有很多更为常见的叫法，如绝对值其实便是一维向量空间中实数或复数的范数，而Euclidean距离也是一种范数。

范数的一般化定义：设p≥1的实数，p-norm定义为：

||x||p:=(∑i=1n∣∣xi∣∣p)1p(1)

此处，当p=1时，我们称之为taxicab Norm，也叫Manhattan Norm。其来源是曼哈顿的出租车司机在四四方方的曼哈顿街道中从一点到另一点所需要走过的距离。也即我们所要讨论的l1范数。其表示某个向量中所有元素绝对值的和。 而当p=2时，则是我们最为常见的Euclidean norm。也称为Euclidean distance。也即我们要讨论的l2范数。 而当p=0时，因其不再满足三角不等性，严格的说此时p已不算是范数了，但很多人仍然称之为l0范数。 这三个范数有很多非常有意思的特征，尤其是在机器学习中的正则化（Regularization）以及稀疏编码（Sparse Coding）有非常有趣的应用。

下图给出了一个Lp球的形状随着P的减少的可视化图。

1- L0 范数

虽然L0严格说不属于范数，我们可以采用等式1来给出l0-norm得定义：

||x||0:=0∑i=0nx0i‾‾‾‾‾‾⎷(2)

上面的公式仍然让人不是很明白，0的指数和平方根严格意义上是受限条件下才成立的。因此在实际应用中，多数人给出下面的替代定义：

||x||0=#(i)withxi≠0(3)

其表示向量中所有非零元素的个数。正是L0范数的这个属性，使得其非常适合机器学习中稀疏编码，特征选择的应用。通过最小化L0范数，来寻找最少最优的稀疏特征项。但不幸的是，L0范数的最小化问题在实际应用中是NP难问题。因此很多情况下，L0优化问题就会被relaxe为更高维度的范数问题，如L1范数，L2范数最小化问题。

2- L1 范数

对于向量X，其L1范数的定义如下：

||x||1:=∑i=1n∣∣xi∣∣(4)

其应用范围非常的广泛。如在计算机视觉中的Sum of Absolute Differents，Mean Absolute Error，都是利用L1范式的定义。

L1最优化问题的解是稀疏性的，其倾向于选择很少的一些非常大的值和很多的insignificant的小值。而L2最优化则更多的非常少的特别大的值，却又很多相对小的值，但其仍然对最优化解有significant的贡献。但从最优化问题解的平滑性来看，L1范数的最优解相对于L2范数要少，但其往往是最优解，而L2的解很多，但更多的倾向于某种局部最优解。

但由于L1范数并没有平滑的函数表示，起初L1最优化问题解决起来非常困难，但随着计算机技术的到来，利用很多凸优化算法使得L1最优化成为可能。

3- L2 范数

当然范数中最常见，也最著名的非L2范数莫属。其应用也几乎包括科学和工程的各个领域。定义公式如下：

||x||2:=∑i=1nx2i‾‾‾‾‾‾⎷(5)

也Euclidean Norm，如果用于计算两个向量之间的不同，即是Euclidean Distance.

欧几里德范数的最优化问题可以用如下公式表述：

min||x||2subjecttoAx=b(6)

借助拉格朗日乘子，我们便可以解决该最优化问题。由L2衍生，我们还可以定义无限norm，即l-infinity norm：

||x||∞:=∞∑i=1nx∞i‾‾‾‾‾‾⎷(7)

一眼看上去上面的公式还是有点tricky的。我们通过一个简单的数学变换，假设X_j是向量中最大的元素，则根据无限大的特性，我们可以得到：

x∞j>>x∞i∨j≠i

则可知

∑i=1nx∞i=x∞j

则根据公式（7）的定义，我们可以得到：

||x||∞=∞∑i=1nx∞i‾‾‾‾‾‾⎷=∞x∞j‾‾‾√=∣∣xj∣∣

因此我们便可以说l-infinity norm是X向量中最大元素的长度。

||x||∞=max(∣∣xj∣∣)(8)

三、一范数和无穷范数区别？

其这里实就是规定的范数函数的p值。

这里的无穷和1，就是取的不同p值。

0范数——向量中非0的元素的个数

1范数,为绝对值之和。

2范数,就是通常意义上的模。即距离。

无穷范数——向量中最大元素的绝对值。

对于无穷范数的说明：当p取无穷大时，

最终只与元素中绝对值最大的元素有关了，即

范数(norm)是数学中的一种基本概念，在泛函分析中，范数是一种定义在赋范线性空间中函数，满足相应条件后的函数都可以被称为范数。

范数，是具有“长度”概念的函数。在线性代数、泛函分析及相关的数学领域，范函是一个函数，其为矢量空间内的所有矢量赋予非零的正长度或大小。半范数反而可以为非零的矢量赋予零长度。

举一个简单的例子，在二维的欧氏几何空间 R就可定义欧氏范数。在这个矢量空间中的元素常常在笛卡儿坐标系统中被画成一个从原点出发的带有箭头的有向线段。每一个矢量的欧氏范数就是有向线段的长度。

其中定义范数的矢量空间就是赋范矢量空间。同样，其中定义半范数的矢量空间就是赋半范矢量空间。

有限维空间上的范数具有良好的性质，主要体现在以下几个定理：

性质1：对于有限维赋范线性空间的任何一组基，范数是元素（在这组基下）的坐标的连续函数。

性质2(Minkowski定理）：有限维线性空间的所有范数都等价。

性质3(Cauchy收敛原理）：实数域（或复数域）上的有限维线性空间（按任何范数）必定完备。

性质4：有限维赋范线性空间中的序列按坐标收敛的充要条件是它按任何范数都收敛。

四、证明无穷范数是矩阵范数？

矩阵范数的定义有1-范数、2-范数及无穷范数，无穷范数是矩阵范数的一种定义。

五、矩阵的一范数和无穷范数？

矩阵的一范数大于等于矩阵的无穷范数。

六、2范数与1范数和无穷范数乘积的大小比较？

一、向量的范数

首先定义一个向量为：a=[-5，6，8, -10]

1.1 向量的1范数

向量的1范数即：向量的各个元素的绝对值之和，上述向量a的1范数结果就是：29，MATLAB代码实现为：norm（a，1）；

1.2 向量的2范数

向量的2范数即：向量的每个元素的平方和再开平方根，上述a的2范数结果就是：15，MATLAB代码实现为：norm（a，2）；

1.3 向量的无穷范数

1.向量的负无穷范数即：向量的所有元素的绝对值中最小的：上述向量a的负无穷范数结果就是：5，MATLAB代码实现为：norm（a，-inf）；

2..向量的正无穷范数即：向量的所有元素的绝对值中最大的：上述向量a的负无穷范数结果就是：10，MATLAB代码实现为：norm

七、1范数2范数计算公式？

一、求法

1-范数：║A║1 = max{ ∑|ai1|，∑|ai2|，……，∑|ain| }（列和范数，A每一列元素绝对值之和的最大值），其中∑|ai1|第一列元素绝对值的和∑|ai1|=|a11|+|a21|+...+|an1|，其余方法相同）；

2-范数：║A║2 = A的最大奇异值 =（max{ λi(A^H*A) }）^{1/2}（其中A^H为A的转置共轭矩阵）。

二、区别：

1、意义不同：1-范数是指向量（矩阵）里面非零元素的个数，2-范数（或Euclid范数）是指空间上两个向量矩阵的直线距离。

2、求法不同：1-范数║A║1 = max{ ∑|ai1|，∑|ai2|，……，∑|ain| }，2-范数：║A║2 = A的最大奇异值 = （max{ λi(A^H*A) }）^{1/2}。

扩展资料：

矩阵范数中矩阵A和B及所有实数a，满足以下性质：

1、||A||>=0；

2、||A||=0 iff A=O（零矩阵）；（1和2可统称为正定性）

3、||aA||=|a|·||A||；（齐次性）

4、||A+B||<= ||A|| + ||B||；（三角不等式）

5、||AB||<=||A|| ||B||。（相容性）

八、一范数与无穷范数比较大小？

欧式空间的一范数和无穷范数是等价的。

九、无穷范数和其他范数之间的关系？

无穷范数，无穷大无穷小所有的数，其他范数范围比较小，是一部分。

十、向量的范数？

范数，是具有“长度”概念的函数。在线性代数、泛函分析及相关的数学领域，范数是一个函数，是矢量空间内的所有矢量赋予非零的正长度或大小。半范数可以为非零的矢量赋予零长度。

定义范数的矢量空间是赋范矢量空间；同样，定义半范数的矢量空间就是赋半范矢量空间。

注：在二维的欧氏几何空间 R中定义欧氏范数，在该矢量空间中，元素被画成一个从原点出发的带有箭头的有向线段，每一个矢量的有向线段的长度即为该矢量的欧氏范数。